探討阻力對物體運動速度、位移與時間的影響

 

 A particle moves in a medium under the influence of a retarding force equal to  ,where k and a are constants. Show that for any value of the initial speed the particle will never move a distance greater than  and that the particle comes to rest only for t→

運動方程式

根據牛頓第二運動定律，物體所受的淨力等於質量乘以加速度。因為阻力的方向與運動方向相反，我們加上負號：

同除以質量 m（假設）得到加速度與速度的關係式：

求出最大位移

為了找出速度v與位移x的關係，我們利用微積分的連鎖律（Chain rule），將加速度改寫為與位移相關的形式：

由第2式與第3式合併⇒

if（）

分離變數：

設定初始條件：在時間 t = 0 時，位移 x = 0，初始速度為。當速度降低到 v 時，位移為x。兩邊進行定積分：

利用反三角函數的積分公式

⇒

極限分析（最大位移）

當物體減速到完全靜止時，末速度 ：

因為對於任何實數反正切函數的最大值都有一個理論上限：

因此，不論初始速度有多大（甚至是接近無限大），其最大位移永遠嚴格小於⇒

證明停止時間為無限大 ()

由動方程式知

我們使用部分分式拆解法（Partial Fractions）：

設定係數 A,B,C 將其拆解為

通分整理右邊通分：

因此分子必須滿足：

展開並比係數展開右邊：

整理：

對應係數比較左邊是常數 1 ⇒ 對應：

解出係數

因此：

代回積分式

原式變成：

分別積分：

合併結果

積分：

兩邊取指數exponential

⇒

當時間趨於極限； ：

⇒

⇒

這說明了物體的速度只會無限趨近於 0，物理上需要無限長的時間才能真正「完全停下」。

 

討論:為什麼會出現「位移有上限，時間卻無限」這種看似矛盾卻又合理的物理現象，如果阻力存在位移有上限，時間也為有限的狀態。我們可以思考粒子在進入媒介中會與其他媒介的粒子發生碰撞，阻力發生是透過動能衰減，將能量傳導給別的媒介粒子。這過程亦同時發生媒介粒子與粒子發收碰撞直到自由能(Gibbs Free Energy)達到正值為止，狀態為平衡態(equilibrium state)。動能在數學與理想物理模型中，指數衰減的特性就是「永遠無限接近 0，但永遠不等於 0」，因此需要 t→ 才能完全靜止。

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