探討阻力對物體運動速度、位移與時間的影響
A particle moves in a medium under the influence of a retarding force equal to ,where k and a are constants. Show that for any value of the initial speed the particle will never move a distance greater than and that the particle comes to rest only for t→ 運動方程式 根據牛頓第二運動定律 ，物體所受的淨力等於質量乘以加速度。因為阻力的方向與運動方向相反，我們加上負號： 同除以質量 m （假設 ）得到加速度與速度的關係式： 求出最大位移 為了找出速度 v 與位移 x 的關係，我們利用微積分的連鎖律（ Chain rule ），將加速度改寫為與位移相關的形式： 由第 2 式與第 3 式合併 ⇒ if （ ） 分離變數： 設定初始條件：在時間 t = 0 時，位移 x = 0 ，初始速度為 。當速度降低到 v 時，位移為 x 。兩邊進行定積分： 利用反三角函數的積分公式 ⇒ 極限分析（最大位移） 當物體減速到完全靜止時，末速度 ： 因為對於任何實數 反正切函數的最大值都有一個理論上限： 因此，不論初始速度 有多大（甚至是接近無限大），其最大位移永遠嚴格小於 ⇒ 證明停止時間為無限大 ( ) 由動方程式知 我們使用部分分式拆解法（ Partial Fractions ）： 設定係數 A,B,C 將其拆解為 通分整理右邊通分： 因此分子必須滿足： 展開並比係數展開右邊： 整理： 對應係數比較左邊是常數 1 ⇒ 對應： 解出係數 因此： 代回積分式 原式變成： 分別積分： 合併結果 積分： 兩邊取指數 exponential ⇒ 當時間趨於極限； ： ⇒ ⇒ 這說明了物體的速度只會無限趨近於 0 ，物理上需要 無限長的時間 才能真正「完全停下」。 討論 : 為什麼會出現「位移有上限，時間卻無限」這種看似矛盾卻又合理的物理現象，如果阻力存在位移有上...