阻力在重力場下對物體速度影響

大家有沒有經驗，當你在高空中丟下物體時，物體會隨著距離掉落的地面越接近時速度越快，可是如果是把物體放置在液體中，隨著掉落物接近至地面同時，落體速度會更加緩慢。直至地面速度零為止。此為阻力對物體落地時所造成影響。

    我們考慮物體運動當中受到重力場影響，物體在高空中隨時間增加物體速度會越來越快。但實質上在自由落體運動中，我們少考慮到物體與物體所接觸介質，例如: 物體以水為介質在移動或物體以空氣為介質在移動。因此我們在考慮物體行徑時仍需考慮阻力會對物體移動影響。因此我們考慮引進阻力係數R。阻力的大小是來自於兩個假設，第一是阻力強度取決於力施加於物體上並與速度有關，第二是阻力與與物體行經速度方向相反。

    阻力大小會因為各不同速度方向而對產生阻力產生影響。以下我們就兩種模型來討論阻力對物體速度影響。
    第一種模型我們假設阻力與物體行徑速度成正比，此模型會適用在物體緩慢移動在液體中，又或者比較小的物體例如:灰塵與較小顆粒在空氣中移動。

   在此種模型下，考慮阻力R施加於物體影響，阻力可以表示為:

 b 為一個常數，取決於物體行徑的介質與物體的形狀，而負號代表此阻力R與速度的方向相反。現在我們假設一個球體質量m 受到重力場的影響，而且阻力施加於球體，根據牛頓第二運動定律(New ton's second law)，力在垂直的方向可以表示為:

 此表示物體落下時具有加速度可表示為:

 此為微分方程之公式，此運動過程我們可以理解成，物體出速度為零，而當物體開始受重力影響而降落時，隨時間t 增加，阻力也會跟著增加，而加速度會變得越小。而當最後球體加速度趨近於零時，此球體達到淨利等於零的狀態，此時球體呈現等速度運動。因此上式可以寫為:

 我們將上述一微之微分方程 解法如下: 先將兩邊乘上exponential 因子，再將兩邊積分得到結果如下，細節請看如下公式:

左邊兩式可寫為 Intergral by part 的微分形式

再對左右兩邊對時間t進行積分， 並假設在時間t=0 的狀況下速度v=0 ，因此可解將微分方程所解之常數C 得到 C=-mg/b 。將常數C再帶入原本微分方程所解之公式可得

  此公式若對速度微分可得加速度為 exponential 負t 之形式 ， 從公式可以發現隨時間越長t 的增加會使得重力加速度對球體影響越小，直至dv/dt =0 之結果。
  實驗上我們可以利用量測球體之終端速度 vt 來計算阻力常數b ，由 b = mg/vt  計算得知。